Question

12．设数列{a_n}满足a₄=$\frac{1}{8}$，且对任意的正整数n，满足a_n+2-a_n≤3ⁿ，a_n+4-a_n≥10×3ⁿ，则a₂₀₁₆=$\frac{8{1}^{504}-80}{8}$．

Answer 1

分析 对任意的正整数n，满足a_n+2-a_n≤3ⁿ，可得a_n+4-a_n+2≤3ⁿ⁺²，a_n+4-a_n≤10×3ⁿ，又a_n+4-a_n≥10×3ⁿ，则a_n+4-a_n=10×3ⁿ，利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：∵对任意的正整数n，满足a_n+2-a_n≤3ⁿ，∴a_n+4-a_n+2≤3ⁿ⁺²．
∴a_n+4-a_n≤10×3ⁿ，
又a_n+4-a_n≥10×3ⁿ，则a_n+4-a_n=10×3ⁿ，
∴a₈-a₄=10×3⁴，a₁₂-a₈=10×3⁸，…，a₂₀₁₆-a₂₀₁₂=10×3²⁰¹²．
∴a₂₀₁₆-a₄=10×（3⁴+3⁸+…+3²⁰¹²）=10×$\frac{81（8{1}^{503}-1）}{81-1}$=$\frac{81（8{1}^{503}-1）}{8}$．
∴a₂₀₁₆=a₄+$\frac{81（8{1}^{503}-1）}{8}$=$\frac{8{1}^{504}-80}{8}$．
故答案为：$\frac{8{1}^{504}-80}{8}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“累加求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．