Question

某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．
（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；
（Ⅱ）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元，可求全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；
（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，即可求出使全程运输成本最小，轮船的多大速度．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得：y=

600

x

(1250+0.5x2)=

750000

x

+300x，
即：y=

750000

x

+300x(0＜x≤60)…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，y′=-

750000

x2

+300，
令y'=0，解得x=50，或x=-50（舍去）．                            …（8分）
当0＜x＜50时，y'＜0
当50＜x＜60时，y'＞0（均值不等式法同样给分 ）           …（10分）
因此，函数y=

750000

x

+300x在x=50处取得极小值，也是最小值．
故为使全程运输成本最小，轮船应以50海里/小时的速度行驶．       …（12分）

点评：本题考查函数最值的应用，考查导数知识的运用，确定函数模型是关键．