Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC₁上，NM⊥AB₁．
（1）求证：平面AB₁M⊥平面AMN；
（2）求异面直线B₁N与AB所成的角的正切值；
（3）求二面角A-B₁N-M的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）首先证明线面垂直，进一步转化为面面垂直
（2）先找到异面直线所成角的平面角，再利用解三角形知识求解．
（3）建立空间直角坐标系，利用向量知识来解决二面角问题，使用法向量是解题的关键

解答：
（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点
BB₁⊥AM   AM⊥BC
AM⊥平面B₁BCC₁
∴AM⊥MN
∵MN⊥AB₁
∴MN⊥平面AB₁M
MN?平面AMN
∴平面AB₁M⊥平面AMN
（2）解：由（1）得：MN⊥B₁M
设CN=x
则：C₁N=2-x
B1M2+MN2=B1C12+C1N2
解得：x=

1

4

异面直线B₁N与AB所成的角
即∠A₁B₁N
利用勾股定理得：A1N=

65

4

tan∠A₁B₁N=

65

4

（3）解：建立空间直角坐标系A-xyz
由于AM⊥平面B₁BCC₁

AM

作为平面B1BCC1的法向量

AM

=(

1

2

，

1

2

，0)
设平面AB₁N
的法向量为

n

=(x，y，z)
进一步求出：

AB1

=(1，0，2)  

B1N

=(-1，1，-

7

4

)
利用

n•

AB1

=0且

n

•

B1N

=0
解得：

n

=(-2，-

11

2

，1)
设二面角的平面角为θ
cosθ=

AM • n

| AM || n|

=-

2

2

由于二面角的大小为锐角
θ=45°
故答案为：（1）略
（2）tan∠A₁B₁N=

65

4

（3）θ=45°

点评：本题考查的知识点：线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，勾股定理得应用，异面直线所成的角，空间直角坐标系，向量的数量积，法向量，夹角公式及相关的运算问题．