Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），l为过C的焦点F且倾斜角为α的直线．设l与C交于A、B两点，A与坐标原点连线交C准线于D点．证明：BD⊥y轴．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线方程为x=my+

p

2

，与抛物线方程消去x，利用韦达定理可得y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，由A与坐标原点连线交C准线于D点，求出D的纵坐标，即可证明结论．

解答： 证明：设直线方程为x=my+

p

2

，
与抛物线方程消去x，得y²-2pmy-p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
直线OA的方程为y=

y1

x1

x，
x=-

p

2

时，y=-

y1

x1

•

p

2

=y₂，
∴B，D的纵坐标相等，
∴BD⊥y轴；
（2）解：

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+

pm

2

（y₁+y₂）+

p2

4

=-

3

4

p2

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查韦达定理的运用，属于基础题．