Question

已知函数f（x）=2x³-6x²+a（a是常数）
（1）求f（x）的单调区间
（2）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为3，求f（x）在该区间上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导并判断导数的正负，从而确定单调区间；
（2）由最大值建立方程求出a的值，进而求出最小值．

解答： 解：（1）f'（x）=6x²-12x，令f'（x）=0，则x=0或x=2，

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f（x）	正	0	负	0	正
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），递减区间为（0，2）．
（2）由（1）得，f（x）在[-2，0]上单调递增，在（0，2]上单调递减，
∴f（x）_max=f（0）=a=3，
即f（x）=2x³-6x²+3，
又∵f（-2）=-37，f（2）=-5，
∴f（x）_min=f（-2）=-37．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了闭区间上的最值问题，属于基础题．