Question

16．已知平面区域D=$\left\{{（{x，y}）\left|\begin{array}{l}\\ 3x+y≥3\\ x-y≤2\\ x+3y≤3\end{array}\right.}\right\}$，z=3x-2y，若命题“?（x₀，y₀）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{7}{4}$
• C． $\frac{21}{4}$
• D． $\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，利用特称命题的否定是真命题，求出目标函数的最大值，然后求解m的最小值即可．

解答 解：平面区域D=$\left\{{（{x，y}）\left|\begin{array}{l}\\ 3x+y≥3\\ x-y≤2\\ x+3y≤3\end{array}\right.}\right\}$，如图：命题“?（x₀，y₀）∈D，z＞m”为假命题，则：?（x，y）∈D，z≤m是真命题，由z=3x-2y，可得，当直线3x-2y=z，经过Q时，z由最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-\frac{1}{3}x+1}\end{array}\right.$解得Q（$\frac{9}{4}$，$\frac{1}{4}$），z的最大值就是m的最小值：$\frac{25}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，简单的线性规划的应用，考查转化思想以及计算能力．