Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜2π，设$\overrightarrow{c}$=（2，0），若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，求α+β的值．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，利用向量坐标运算及其相等可得：cosα+cosβ=1，sinα+sinβ=0，利用cos²β+sin²β=（1-cosα）²+sin²α=1-2cosα+1=1，化为cosα=$\frac{1}{2}$，由于0＜α＜β＜2π，可得α=$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$．分类讨论即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，
∴（2cosα，2sinα）+2（cosβ，sinβ）=（2，0），
∴2cosα+2cosβ=2，2sinα+2sinβ=0，
分别化为：cosα+cosβ=1，sinα+sinβ=0，
∵cos²β+sin²β=（1-cosα）²+sin²α=1-2cosα+1=1，
化为cosα=$\frac{1}{2}$，
∵0＜α＜β＜2π，
∴α=$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$．
∵sinα+sinβ=0，
∴当α=$\frac{π}{3}$时，β=$\frac{4π}{3}$或$\frac{5π}{3}$．
当α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{4π}{3}$，不满足cosα+cosβ=1，舍去；
当α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{5π}{3}$，满足cosα+cosβ=1，此时α+β=2π．
当α=$\frac{5π}{3}$时，又0＜α＜β＜2π，不满足sinα+sinβ=0，舍去．
综上可得：β+α=2π．

点评 本题考查了向量坐标运算及其相等、同角三角函数基本关系式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．