Question

8．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0）有相同的焦点F₁，F₂，设椭圆的离心率为e₁，双曲线的离心率为e₂，O为坐标原点，P是两曲线的公共点，且∠F₁PF₂=60°，则$\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{3{{e}_{1}}^{2}+{{e}_{2}}^{2}}}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 先画出图形，根据条件及椭圆、双曲线的定义可以求出|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，|F₁F₂|=2c₁=2c₂，可设|F₁F₂|=2c，而∠F₁PF₂=60°，在△PF₁F₂，由余弦定理便可得出${{a}_{1}}^{2}+3{{a}_{2}}^{2}=4{c}^{2}$，进一步便得到$\frac{{c}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+3{{a}_{2}}^{2}}=\frac{1}{4}$，从而便可求出$\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{3{{e}_{1}}^{2}+{{e}_{2}}^{2}}}=\frac{1}{2}$．

解答 解：如图，
根据椭圆和双曲线的定义：
解得|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂；
且|F₁F₂|=2c₁=2c₂，设|F₁F₂|=2c；
在△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=60°；
∴由余弦定理：$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|•cos60°=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$；
∴$2（{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}）-（{{a}_{1}}^{2}-{{a}_{2}}^{2}）=4{c}^{2}$；
即${{a}_{1}}^{2}+3{{a}_{2}}^{2}=4{c}^{2}$；
∴$\frac{{c}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+3{{a}_{2}}^{2}}=\frac{1}{4}$；
∴$\frac{1}{\sqrt{\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{3{{a}_{2}}^{2}}{{c}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}}}=\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{3{{e}_{1}}^{2}+{{e}_{2}}^{2}}}=\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 考查椭圆和双曲线的定义，椭圆和双曲线的焦点和焦距，以及余弦定理，椭圆和双曲线的离心率的计算公式．