Question

3．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0．ω＞0）在其一个周期内，的图象上有一个最高点（$\frac{π}{12}$，3）和一个最低点（$\frac{7π}{12}$，-3）．
（1）说明此函数图象是由f（x）=sinx的图象经过怎样的变换得到的；
（2）作出这个函数在一个周期内的简图；
（3）当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由顶点的坐标求出φ的值．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（2）用五点法即可做出图象．
（3）由条件根据正弦函数的定义域和值域，求得函数y的最值．

解答 解：（1）由题意可知：A=3，$\frac{T}{2}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=π=$\frac{2π}{ω}$，求得ω=2．
再根据最高点的坐标可得2（$\frac{π}{12}$）+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴φ=$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z．不妨得，φ=$\frac{π}{3}$．
∴y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴将y=sinx的图象先向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度，再把横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），然后把纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），
可得y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象．
（2）列表：

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）	0	3	0	-3	0

画出函数的图象：

（3）∵y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$时，函数取得最小值为-$\frac{3}{2}$，
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为3．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．