题目内容
6．
若a＞0，b＞0，则称$\frac{2ab}{a+b}$为a，b的调和平均数．如图，点C为线段AB上的点，且AC=a，BC=b，点O为线段AB中点，以AB为直径做半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E，则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，那么图中表示a，b的几何平均数与调和平均数的线段，以及由此得到的不等关系分别是（ ）| A． | $CD，CE，\frac{2ab}{a+b}≥\sqrt{ab}$ | B． | $CD，DE，\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}$ | C． | $CD，CE，\frac{2ab}{a+b}≥\sqrt{ab}$ | D． | $CD，CE，\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}$ |
分析 利用相似三角形计算图象各线段的长，利用定义得出各线段的意义，利用直角边小于斜边得出大小关系．
解答 解：由Rt△ACD∽△RtDCB得：$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{CB}$，即$\frac{a}{CD}=\frac{CD}{b}$，
∴CD=$\sqrt{ab}$，即线段CD表示a，b的几何平均数；
∵OC=AC-OA=a-$\frac{a+b}{2}$=$\frac{a-b}{2}$，
∵sin∠OCE=sin∠ODC=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{\frac{a-b}{2}}{\frac{a+b}{2}}$=$\frac{a-b}{a+b}$，
∴OE=OC•sin∠OCE=$\frac{（a-b）^{2}}{2（a+b）}$，
∴DE=OD-OE=$\frac{a+b}{2}$-$\frac{（a-b）^{2}}{2（a+b）}$=$\frac{2ab}{a+b}$，∴线段DE表示a，b的调和平均数；
当a≠b时，由三角形的性质可知DE＜CD，即$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$，
当a=b时，OD与CD重合，此时E，O，C三点重合，故DE=CD，即$\frac{2ab}{a+b}=\sqrt{ab}$，
故选B．
点评 本题考查了圆的性质，平均数的几何意义，属于中档题．
练习册系列答案
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16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
| A． | $\frac{8}{3}$ | B． | $\frac{4}{3}$ | C． | $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$ | D． | $\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$ |
14．如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，若是一件不合格产品，则必须至少经过的工序数目为（ ）
| A． | 6道 | B． | 5 道 | C． | 4道 | D． | 3道 |
11．2016年备受瞩目的二十国集团领导人第十一次峰会于9月4～5日在杭州举办，杭州G20筹委会已经招募培训翻译联络员1000人、驾驶员2000人，为测试培训效果，采取分层抽样的方法从翻译联络员、驾驶员中共随机抽取60人，对其做G20峰会主题及相关服务职责进行测试，将其所得分数（分数都在60～100之间）制成频率分布直方图如下图所示，若得分在90分及其以上（含90分）者，则称其为“G20通”．
（Ⅰ）能否有90%的把握认为“G20通”与所从事工作（翻译联络员或驾驶员）有关？
（Ⅱ）从参加测试的成绩在80分以上（含80分）的驾驶员中随机抽取4人，4人中“G20通”的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
附参考公式与数据：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
（Ⅰ）能否有90%的把握认为“G20通”与所从事工作（翻译联络员或驾驶员）有关？
（Ⅱ）从参加测试的成绩在80分以上（含80分）的驾驶员中随机抽取4人，4人中“G20通”的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
| P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，以A、B为焦点的双曲线$M：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$恰好过C、D两点，则双曲线M的标准方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$．