Question

16．在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=$\frac{1}{3}$x²+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出函数 f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点时（a，b）点对应的图形的面积，并将其代入几何概型的计算公式，进行求解．

解答 解：若函数 f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点．
则f（-1）•f（1）≤0，
即（-$\frac{1}{3}$-a-b）•（$\frac{1}{3}$+a-b）≤0，
即b≤a+$\frac{1}{3}$，
如下图，满足条件的（a，b）落在阴影上，
，
∵S_阴影=1-$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{7}{9}$，
故答案为：$\frac{7}{9}$．

点评 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=$\frac{N（A）}{N}$求解．