Question

18．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+3，则通项a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{5×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．（n∈N^*）．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=2S_n+3，n=1时，a₂=2a₁+3=5．n≥2时，a_n=2S_n-1+3，相减可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
数列{a_n}从第二项开始为等比数列．利用通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=2S_n+3，
∴n=1时，a₂=2a₁+3=5．
n≥2时，a_n=2S_n-1+3，相减可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
∴数列{a_n}从第二项开始为等比数列．
a_n=5×3^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{5×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．（n∈N^*）．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{5×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．（n∈N^*）．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．