Question

11．2016年备受瞩目的二十国集团领导人第十一次峰会于9月4～5日在杭州举办，杭州G20筹委会已经招募培训翻译联络员1000人、驾驶员2000人，为测试培训效果，采取分层抽样的方法从翻译联络员、驾驶员中共随机抽取60人，对其做G20峰会主题及相关服务职责进行测试，将其所得分数（分数都在60～100之间）制成频率分布直方图如下图所示，若得分在90分及其以上（含90分）者，则称其为“G20通”．

（Ⅰ）能否有90%的把握认为“G20通”与所从事工作（翻译联络员或驾驶员）有关？
（Ⅱ）从参加测试的成绩在80分以上（含80分）的驾驶员中随机抽取4人，4人中“G20通”的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

附参考公式与数据：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得：翻译联络员得分在90分及其以上（含90分）者有0.02×10×1000=200人，得分在90分及其以下者有1000-200=800人．驾驶员得分在90分及其以上（含90分）者有0.005×10×2000=100人，得分在90分及其以下者有2000-200=1900人．抽取翻译联络员=$\frac{1000}{3000}×60$=20人，得分在90分及其以上（含90分）者有4人，得分在90分及其以下者有16人，抽取驾驶员$\frac{2000}{3000}$×60=40人，得分在90分及其以上（含90分）者有2人，得分在90分及其以下者有38人．作出列联表：由列联表中的数据，得到k²=$\frac{60×（4×38-2×16）^{2}}{6×54×20×40}$=3.333，即可得出结论．
（Ⅱ）由图可知：参加测试的成绩在80分以上（含80分）的驾驶员中共有10人，其中在区间[80，90）的有8人，在区间[90，100]的有2人．随机抽取4人，4人中“G20通”的人数为随机变量X=0，1，2．P（X=k）=$\frac{{∁}_{8}^{4-k}{∁}_{2}^{k}}{{∁}_{10}^{4}}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：翻译联络员得分在90分及其以上（含90分）者有0.02×10×1000=200人，
得分在90分及其以下者有1000-200=800人．
驾驶员得分在90分及其以上（含90分）者有0.005×10×2000=100人，得分在90分及其以下者有2000-200=1900人．
抽取翻译联络员=$\frac{1000}{3000}×60$=20人，得分在90分及其以上（含90分）者有4人，得分在90分及其以下者有16人，
抽取驾驶员$\frac{2000}{3000}$×60=40人，得分在90分及其以上（含90分）者有2人，得分在90分及其以下者有38人．
做出列联表：

	90（含90）分以上	90分以下	合计
翻译联络员	4	16	20
驾驶员	2	38	40
合计	6	54	60

由列联表中的数据，得到k²=$\frac{60×（4×38-2×16）^{2}}{6×54×20×40}$=3.333＞2.706．
因此，有90%的把握认为两者有关．
（Ⅱ）由图可知：参加测试的成绩在80分以上（含80分）的驾驶员中共有10人，其中在区间[80，90）的有8人，在区间[90，100]的有2人．
随机抽取4人，4人中“G20通”的人数为随机变量X=0，1，2．
P（X=k）=$\frac{{∁}_{8}^{4-k}{∁}_{2}^{k}}{{∁}_{10}^{4}}$，可得P（X=0）=$\frac{1}{3}$，P（X=1）=$\frac{8}{15}$，P（X=2）=$\frac{2}{15}$．

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

EX=0+$1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{15}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了频率与概率的关系、独立性检验原理、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．