Question

17．已知函数f_t（x）=（x-t）²-t，t∈R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{m}（x），{f}_{m}（x）＜{f}_{n}（x）}\\{{f}_{n}（x），{f}_{m}（x）≥{f}_{n}（x）}\end{array}\right.$（m＜n），若函数y=f（x）+x+m-n有四个零点，则m-n的取值范围是（-∞，-2-$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 解方程f_m（x）=f_n（x）得交点P（$\frac{m+n-1}{2}$，$（\frac{n-m-1}{2}）^{2}-m$），函数f（x）的图象与直线l：y=-x+n-m有四个不同的交点，由图象知，点P在l的上方，故$\frac{m+n-1}{2}+（\frac{n-m-1}{2}）^{2}-m-（n-m）$＞0，由此解得m-n的取值范围．

解答 解：作函数f（x）的图象，解方程f_m（x）=f_n（x），
得x=$\frac{m+n-1}{2}$，即交点P（$\frac{m+n-1}{2}$，$（\frac{n-m-1}{2}）^{2}-m$），
又函数y=f（x）+x+m-n有四个零点，
即函数f（x）的图象与直线l：y=-x+n-m有四个不同的交点．
由图象知，点P在l的上方，
∴$\frac{m+n-1}{2}+（\frac{n-m-1}{2}）^{2}-m-（n-m）$＞0，
即（n-m）²-4（n-m）-1＞0，
解得：n-m$＜2-\sqrt{5}$或n-m$＞2+\sqrt{5}$．
∵m＜n，∴n-m＞$2+\sqrt{5}$，
即m-n＜-（$2+\sqrt{5}$）．
故答案为：（-∞，-2-$\sqrt{5}$）．

点评 本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．