Question

设f（x）=lg（

2

1-x

+a）是奇函数
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在定义域上是单调函数；
（3）若f（t²-1）+f（2t-1）＞0，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）通过求函数f（x）的定义域，并且根据奇函数的定义域关于原点对称即可求得a的值为-1；
（2）求f′（x）=

2

(1-x)(1+x)ln10

＞0，从而便可判断出f（x）在其定义域（-1，1）上是增函数；
（3）由f（x）为奇函数可得到f（t²-1）＞f（1-2t），而根据f（x）在定义域（-1，1）上的单调性即可得到

-1＜t2-1＜1 -1＜1-2t＜1 t2-1＞1-2t

，解该不等式组即得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）解

2

1-x

+a＞0；
若a＞0，则

x＜1 x＜ a+2 a

，或

x＞1 x＞ a+2 a

；
若a＜0，则

x＜1 x＞ a+2 a

，或

x＞1 x＜ a+2 a

；
∵f（x）为奇函数，∴定义域关于原点对称；
∴

a+2

a

=-1，a=-1；
∴f（x）=lg

1+x

1-x

；
（2）证明：f′（x）=

2

(1-x)(1+x)ln10

＞0；
∴f（x）在定义域（-1，1）上是单调函数；
（3）根据f（x）是奇函数，由原不等式得，f（t²-1）＞f（1-2t）；
∴根据f（x）在（-1，1）上单调递增得：

-1＜t2-1＜1 -1＜1-2t＜1 t2-1＞1-2t

；
∴解得-1+

3

＜t＜

2

；
∴实数t的取值范围为(-1+

3

，

2

)．

点评：考查奇函数定义域的特点，根据函数导数符号判断或证明函数单调性的方法，奇函数定义的运用，单调性定义的运用．