Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2ⁿ+a_n，则数列{a_n}的前n项和S_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式，然后利用分组求和法进行求和．

解答： 解：∵a_n+1=2ⁿ+a_n，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+2²+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
则S_n=2+2²+…+2ⁿ-n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-n-2．
故答案为：2ⁿ⁺¹-n-2．

点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用累加法和分组求和法是解决本题的关键．