Question

设F₁，F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF₁|+|PF₂|=3b，|PF₁|•|PF₂|=

9

4

ab，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  5

  3

• C、

  9

  4

• D、3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a，结合条件可得a=

3

4

b，从而c=

a2+b2

=

5

4

b，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：不妨设右支上P点的横坐标为x
由焦半径公式有|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a，
∵|PF₁|+|PF₂|=3b，|PF₁|•|PF₂|=

9

4

ab，
∴2ex=3b，（ex）²-a²=

9

4

ab
∴

9

4

b²-a²=

9

4

ab，即9b²-4a²-9ab=0，
∴（3b-4a）（3b+a）=0
∴a=

3

4

b，
∴c=

a2+b2

=

5

4

b，
∴e=

c

a

=

5

3

．
故选：B．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．