Question

20．已知函数f（x）=4^x+k•2^-x，且f（1）=2．
（1）求k的值；
（2）若f（x）＞2^2-x，求x的取值范围；
（3）若f（x）＞t•2^x对任意的x∈（0，+∞）都成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接由f（1）=2求得k值；
（2）求出函数f（x）的解析式，代入f（x）＞2^2-x，求解指数不等式得x的取值范围；
（3）由f（x）＞t•2^x，分离参数t，换元后利用函数的单调性求出函数的最值得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=4^x+k•2^-x，且f（1）=2，
∴4+$\frac{k}{2}=2$，即k=-4；
（2）f（x）=4^x-4•2^-x=4^x-2^2-x，
由f（x）＞2^2-x，得4^x-2^2-x＞2^2-x，
即4^x＞2^3-x，∴2^2x＞2^3-x，解得x＞1；
（3）f（x）＞t•2^x对任意的x∈（0，+∞）都成立，
即4^x-2^2-x＞t•2^x对任意的x∈（0，+∞）都成立，
整理得：$t＜{2}^{x}-\frac{4}{（{2}^{x}）^{2}}$对任意的x∈（0，+∞）都成立，
令z=2^x，
∵x∈（0，+∞），∴z∈（1，+∞）．
g（z）=z-$\frac{4}{{z}^{2}}$在（1，+∞）上为增函数，
∴g（z）＞g（1）=-3．
∴t≤-3．
即t的取值范围是（-∞，-3]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了指数不等式的解法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．