Question

10．已知函数f（x）=x|2a-x|-a，a∈R．
（1）若a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知a＞-1，讨论函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=x|2-x|-1=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}-1，x≤2}\\{{x}^{2}-2x-1，x＞2}\end{array}\right.$，从而结合二次函数判断单调区间；
（2）化简f（x）=x|2a-x|-a=$\left\{\begin{array}{l}{2ax-{x}^{2}-a，x≤2a}\\{{x}^{2}-2ax-a，x＞2a}\end{array}\right.$，从而讨论以确定函数的单调性及极值，从而确定零点的个数．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x|2-x|-1=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}-1，x≤2}\\{{x}^{2}-2x-1，x＞2}\end{array}\right.$，
故结合二次函数的性质可知，
f（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞），
单调减区间为（1，2）；
（2）f（x）=x|2a-x|-a=$\left\{\begin{array}{l}{2ax-{x}^{2}-a，x≤2a}\\{{x}^{2}-2ax-a，x＞2a}\end{array}\right.$，
①当-1＜a＜0时，
f（x）的单调增区间为（-∞，2a），（a，+∞），
单调减区间为（2a，a）；
且f（2a）=-a＞0，f（a）=-a²-a=-a（a+1）＞0，
故函数f（x）只有一个零点；
②当a=0时，f（x）在R上是增函数；
且f（0）=0，故函数f（x）只有一个零点；
③当a＞0时，
f（x）的单调增区间为（-∞，a），（2a，+∞），
单调减区间为（a，2a）；
f（a）=a²-a=a（a-1），f（2a）=-a＜0，
（1）当0＜a＜1时，f（a）＜0，
故函数f（x）只有一个零点；
（2）当a=1时，f（a）=0，
故函数f（x）只有两个零点；
（3）当a＞1时，f（a）＞0，
故函数f（x）有三个零点；
综上所述，
①当-1＜a＜1时，函数f（x）只有一个零点；
②当a=1时，函数f（x）只有两个零点；
③当a＞1时，函数f（x）有三个零点．

点评 本题考查了绝对值函数的应用及分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．