Question

已知函数f（x）=x³+ax²图象上一点P（1，b）处的切线斜率为-3，g（x）=x³+

t-6

2

x²-（t+1）x+3（t＞0），
（1）求a、b的值；
（2）当x∈[-1，4]时，求f（x）的值域；
（3）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用导数得几何意义f′（1）=-3，可求得a=-3，将（1，b）代入函数f（x）=x³-3x²，可求得b；
（2）利用导数，可求得闭区间x∈[-1，4]上的最值，从而可求得f（x）的值域；
（3）依题意，当x∈[1，4]时，不等式f（x）≤g（x）恒成立⇒tx²-2（t+1）x+6≥0（t＞0）恒成立，令g（x）=x²-

2(t+1)

t

x+

6

t

（t＞0），利用二次函数的单调性质，可分别求得t≥

1

3

时与0＜t＜

1

3

时g（x）_min，≥0，从而可得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax，
∵过函数f（x）=x³+ax²的图象上一点P（1，b）的切线的斜率为-3，
∴f′（1）=-3，
∴a=-3，
将（1，b）代入函数f（x）=x³-3x²，可得b=-2．
（2）由（1）知f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
当x∈[-1，0]与x∈[2，4]时，f（x）单调递增；当x∈[0，2]时，f（x）单调递减；
∴当x=0时，f（x）_极大=f（0）=0，当x=2时，f（x）_极小=f（2）=-4；
又f（-1）=-4，f（4）=64-48=16，
∴当x∈[-1，4]时，f（x）的值域为[-4，16]；
（3）∵当x∈[1，4]时，不等式f（x）≤g（x）恒成立，
∴当x∈[1，4]时，-3x²≤

t-6

2

x²-（t+1）x+3（t＞0）恒成立，
即

t

2

x²-（t+1）x+3≥0（t＞0）恒成立，也就是tx²-2（t+1）x+6≥0（t＞0）恒成立，
令g（x）=x²-

2(t+1)

t

x+

6

t

（t＞0），
①若1＜

(t+1)

t

≤4，即t≥

1

3

时，g（x）_min=g（

t+1

t

）=(

t+1

t

)2-2(

t+1

t

)2+

6

t

=

6

t

-(

t+1

t

)2＞0，
解得：2-

3

≤t≤2+

3

，故

1

3

≤t≤2+

3

；
②若

(t+1)

t

＞4，即0＜t＜

1

3

时，g（x）在[1，4]上单调递减，
要使x∈[1，4]时，g（x）≥0恒成立，只需g（x）_min=g（4）=16-

8(t+1)

t

+

6

t

=8-

2

t

≥0即可，
解得：t≥

1

4

，又0＜t＜

1

3

，故

1

4

≤t＜

1

3

；
综合①②得：

1

4

≤t≤2+

3

．

点评：本题考查函数恒成立问题，综合考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值与闭区间上的最值，考查二次函数的单调性与最值，的综合应用，考查逻辑思维、创新思维、推理运算能力，属于难题．