Question

已知函数f（x）=3^x的图象过点（a+2，18）．
（1）求g（x）=3^ax-4^x的解析式；
（2）若函数g（x）的定义域为[0，1]，求g（x）的值域．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数过点，结合指数幂的运算法则即可求g（x）=3^ax-4^x的解析式；
（2）利用换元法，结合指数函数和一元二次函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x的图象过点（a+2，18）．
∴3^a+2=18，即9•3^a=18，
解得3^a=2，
则g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x；
（2）设t=2^x，若函数g（x）的定义域为[0，1]，
则1≤t≤2，
则g（x）等价为m（t）=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

，
∵1≤t≤2，
∴-2≤m（t）≤0，
故函数g（x）的值域为[-2，0]．

点评：本题主要考查函数解析式和函数值域的求解，利用换元法结合指数函数和一元二次函数的图象和性质是解决本题的关键．