Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，满足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令Cn=

2 Sn ，n为奇数 bn，n为偶数

设数列{c_n}的前n项和T_n，求T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）由a₁=3，a_n=2n+1得S_n=n（n+2）．则n为奇数，c_n=

2

Sn

=

1

n

-

1

n+2

．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
由b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
得

q+6+d=10 3+4d-2q=3+2d

，解得

d=2 q=2

∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，bn=2n-1．
（Ⅱ）由a₁=3，a_n=2n+1得S_n=n（n+2），
则n为奇数，c_n=

2

Sn

=

1

n

-

1

n+2

，
n为偶数，c_n=2^n-1．
∴T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n）
=[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]+(2+23+…+22n-1)
=1-

1

2n+1

+

2(1-4n)

1-4

=

2n

2n+1

+

2

3

(4n-1)．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．