Question

在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄；由此归纳出{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论．
（2）若c_n=log₂（

bn

an

），S_n=c₁+c₂+…+c_n，试问是否存在正整数m，使S_m≥5，若存在，求最小的正整数m．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意，2b_n=a_n+a_n+1，a²_n+1=b_nb_n+1，从而写出a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄；利用数学归纳法证明通项公式；
（2）由题意，c_n=log₂（

bn

an

）=log₂

n+1

n

，化简S_n=c₁+c₂+…+c_n=log₂

2

1

+log₂

3

2

+…+log₂

n+1

n

=log₂（n+1），从而求m．

解答： 解：（1）由条件可得，2b_n=a_n+a_n+1，a²_n+1=b_nb_n+1，
则由a₁=2，b₁=4，可得，
a₂=6，a₃=12，a₄=20；
b₂=9，b₃=16，b₄=25；
猜想：a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²；
证明如下：
①当n=1时，结论成立；
②假设当n=k时成立，即a_k=k（k+1），b_k=（k+1）²；
则当n=k+1时，
a_k+1=2b_k-a_k=2（k+1）²-k（k+1）=（k+2）（k+1），
b_k+1=a²_k+1÷b_k=（k+2）²（k+1）²÷（k+1）²=（k+2）²；
故a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²对一切正整数n都成立．
（2）∵c_n=log₂（

bn

an

）=log₂

n+1

n

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=log₂

2

1

+log₂

3

2

+…+log₂

n+1

n

=log₂（n+1），
则S_m≥5可化为log₂（m+1）≥5，
则m≥31，
故存在正整数m，且最小的正整数m为31．

点评：本题考查了合情推理及数学归纳法，同时考查了对数运算及数列的通项公式的求法，属于中档题．