Question

设a∈R，x∈[-1，1]时，函数y=-x²-ax+b有最小值-1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：首先把二次函数转化为顶点式，然后根据不定对称轴和单调区间的关系分五种情况进行讨论①当-

a

2

=0时②当0＜-

a

2

＜1时③当-1＜-

a

2

＜0时④当-

a

2

≥1时⑤当-

a

2

≤-1时，最后确定结果．

解答： 解：函数y=-x²-ax+b=-(x+

a

2

)2+

a2

4

+b
则函数为开口方向线下，对称轴为x=-

a

2

的抛物线
当①-

a

2

=0时，即a=0
y_max=b=1 y_min=-1+a+b=-1
解得a=-1与a=0矛盾舍去
②当0＜-

a

2

＜1时，即0＞a＞-2时，ymax=

a2

4

+b=1 y_min=-1+a+b=-1
解得：a=2±2

2

由于0＞a＞-2
所以a=2-2

2

③当-1＜-

a

2

＜0时，即0＜a＜2
ymax=

a2

4

+b  y_min=-1-a+b=-1
解得：a=-2±2

2

由于0＜a＜2
所以a=2

2

-2
④当-

a

2

≥1时，即a≤-2
函数在定义域内单调递增
y_max=-1-a+b=1  y_min=-1+a+b=1
解得：a=-1与a≤-2矛盾故舍去
⑤当-

a

2

≤-1时，即a≥2
函数在定义域内单调递减
y_max=-1+a+b=1   y_min=-1-a+b=1
解得：a=1与a≥2矛盾故舍去
综上所述：a=2-2

2

或a=2

2

-2
故答案为：a=2-2

2

或a=2

2

-2

点评：本题考查的知识要点：二次函数顶点式与一般式的互化，不定对称轴和定区间的关系，及相关的分类讨论问题和运算问题