Question

在△ABC中，B=60°，AC=

3

，AB+BC的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：利用余弦定理求出AB•BC与AB+BC的关系式，利用基本不等式求得AB+BC的范围，进而求得其最大值．

解答： 解：设AB+BC=t，
cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

t2-2AB•BC-3

2AB•BC

=

1

2

，
∴t²-3=3AB•BC，即（AB+BC）²-3=3AB•BC
∵AB•BC≤

(AB+BC)2

4

，当且仅当AB=BC时，等号成立，
∴（AB+BC）²-3≤

3

4

•（AB+BC）²，
∴

1

4

•（AB+BC）²≤3，即（AB+BC）²≤12，
∴AB+BC≤2

3

，
∴AB+BC的最大值为2

3

，此时AB=BC=AC=

3

，
故答案为：2

3

．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，基本不等式等知识．在运用基本不等式时，一定要注意在使用基本不等式，判断等号能否成立．