Question

已知函数f（x）=3ln（x+1）+ax²-2x，a∈R，若f（x）在区间（0，+∞）单调递增，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求导函数，利用函数f（x）=3ln（x+1）+ax²-2x，在（0，+∞）上为单调递增函数，构建不等式，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：求导函数可得f′（x）=

3

x+1

+2ax-2，
∵函数f（x）=3ln（x+1）+ax²-2x，在（0，+∞）上为单调递增函数，
∴f′（x）=

3

x+1

+2ax-2≥0，即a≥

2x-1

2x(x+1)

在（0，+∞）上恒成立，
∵

2x-1

2x(x+1)

=

x- 1 2

x2+x

=

x- 1 2

(x- 1 2 )2+2(x- 1 2 )+ 3 4

=

1

(x- 1 2 )+ 3 4 x- 1 2 +2

，
∴当x∈（0，

1

2

）时，令g（x）=

2x-1

2x(x+1)

，g′（x）=

-x2+x+ 1 2

(x2+x)2

=

-(x- 1 2 )2+ 3 4

(x2+x)2

＞0，
∴g（x）在（0，

1

2

）上是增函数，∴g（x）＜g（

1

2

）=0，
∴a≥0
当x∈（

1

2

，+∞）时，

1

(x- 1 2 )+ 3 4 x- 1 2 +2

≤

1

2 3 4 +2

=2-

3

，x=

1+ 3

2

时等号成立．
∴a≥2-

3

；
∴综上所述a的范围是[0，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．