Question

已知函数f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2014，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导数，讨论k为奇数和偶数，求出函数的单调区间，注意函数的定义域；
（2）若k=2014，则f（x）=x²-2alnx（k∈N*），记g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，求出导数，单调区间和极小值和最小值，则方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解．由g（x₂）=0且g′（x₂）=0，得到2lnx₂+x₂-1=0，设函数h（x）=2lnx+x-1，求出导数，运用单调性，有h（1）=0，则方程（*）的解为x₂=1，进而得到a的值．

解答： 解：（1）由已知得，x＞0，且f′（x）=2x-（-1）k•

2a

x

，
当k为奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在x＞0时为增函数，
当k为偶数时，f′（x）=2x-

2a

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

，
所以当0＜x＜

a

，f′（x）＜0，
当x＞

a

时，f′（x）＞0，
故当k为偶数时，f（x）在（0，

a

）上为减函数，在（

a

，+∞）上为增函数；
（2）若k=2014，则f（x）=x²-2alnx（k∈N*），
记g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，
则g′（x）=2x-

2a

x

-2a=

2

x

（x²-ax-a），
则方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解．
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x₁=

a- a2+4a

2

＜0（舍去）
x₂=

a+ a2+4a

2

．
当0＜x＜x₂时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）递减；
当x＞x₂，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）递增；
当x=x₂时，取极小值，也为最小值，则g（x）_min=g（x₂）．
∵g（x）有唯一解，则g（x₂）=0，则g（x₂）=0且g′（x₂）=0，
即x₂²-2alnx₂-2ax₂=0且x₂²-ax₂-a=0，
两式相减得，2alnx₂+ax₂-a=0，
∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0，（*）
设函数h（x）=2lnx+x-1，h′（x）=

2

x

+1＞0，
∵x＞0，h（x）递增，∴h（x）=0至多有一个解，
∵h（1）=0，∴方程（*）的解为x₂=1，
从而解得a=

1

2

．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，最值，考查构造函数，运用导数求极值和最值，考查函数和方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题．