Question

已知函数f（x）=

a

•

b

，

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx）．
（Ⅰ）求f（x）的对称轴；
（Ⅱ）若x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标公式和二倍角公式及两角和的正弦公式，即可化简f（x），再由对称轴方程，即可得到；
（Ⅱ）运用正弦函数的值域和最值性质，通过x的范围，即可得到所求f（x）的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx）．
则函数f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+cos²x=

1

2

（sin2x+cos2x）+

1

2

则f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

由2x+

π

4

=kπ+

π

2

得x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）；
∴f（x）的对称轴为x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∵x∈[

π

12

，

π

2

]∴2x+

π

4

∈[

5π

12

，

5π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∈[0，

1+ 2

2

]．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式和二倍角公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质的运用，属于中档题．