Question

在等比数列{a_n}中，a₁=2，公比q=2．
（Ⅰ）设S_n为{a_n}的前n项和，证明：S_n+2=2a_n；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是3，a₁，a₂，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由于等比数列{a_n}中，a₁=2，公比q=2．可得a_n=2ⁿ，S_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2，即可证明．
（II）△ABC中，三边分别是3，a₁=2，a₂=2×2=4．由余弦定理可得cosC．因此sinC=

1-cos2C

．再利用△ABC的面积S=

1

2

absinC即可得出．

解答： （I）证明：∵等比数列{a_n}中，a₁=2，公比q=2．∴a_n=2ⁿ，S_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n+2=2ⁿ⁺¹=2a_n．
（II）解：△ABC中，三边分别是3，a₁=2，a₂=2×2=4．
由余弦定理可得cosC=

32+22-42

2×3×2

=-

1

4

．
∴sinC=

1-cos2C

=

15

4

．
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×3×2×

15

4

=

3 15

4

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、余弦定理及其三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．