Question

已知

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），
（1）若

m

•

n

=1，求cos（

2π

3

-x）的值；
（2）记f（x）=

m

•

n

求使得f（x）取得最大值时，x的取值集合．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由

m

•

n

=1，利用数量积运算可得

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=1，利用倍角公式及其两角和差的正弦公式可得sin(

x

2

+

π

6

)=

1

2

．再利用倍角公式与诱导公式可得cos(

2π

3

-x)=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=2sin2(

x

2

+

π

6

)-1即可得出．
（2）利用（1）及正弦函数的单调性最值即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

•

n

=1，
∴

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=1，化为

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

=

1

2

，
∴sin(

x

2

+

π

6

)=

1

2

．
∴cos(

2π

3

-x)=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=2sin2(

x

2

+

π

6

)-1=2×(

1

2

)2-1=-

1

2

．
（2）由（1）可得f（x）=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

．
当

x

2

+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为1+

1

2

=

3

2

．
此时x=

2π

3

+4kπ（k∈Z），
∴当f（x）取得最大值

3

2

时，x的取值集合为{x|x=

2π

3

+2kπ，k∈Z}．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式及其两角和差的正弦公式、诱导公式、正弦函数的单调性最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．