题目内容

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；
（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；
（ⅱ） 利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．
解答： 解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，
A（3，
6p
），F（
p
2
，0），|AF|=3+
p
2
，
∴|FD|=|AF|=3+
p
2
．
∵△ADF为正三角形，
∴|FG|=
1
2
|FD|=
3
2
+
p
4
．
 又∵|FG|=|OG|-|OF|=3-
p
2
，
∴3-
p
2
=
3
2
+
p
4
，
∴p=2．
∴C的方程为y2=4x．
当D在焦点F的左侧时，|FD|=|AF|=3+
p
2
．
又|FD|=2|FG|=2（
P
2
-3）=p-6，
∵△ADF为正三角形，
∴3+
p
2
=p-6，解得p=18，
∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．
∴C的方程为y2=4x．
 （2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，
∴D（x1+2，0），
∴kAB=-
y1
2
．
由直线l1∥l可设直线l1方程为y=-
y1
2
x+m，
联立方程
y=-
y1
2
x+m
y2=4x
，消去x得y1y2+8y-8m=0     ①
由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=-2，
这时方程①的解为y=-
4
y1
=2m，代入y=-
y1
2
x+m得x=m2，∴E（m2，2m）．
点A的坐标可化为(
1
m2
，-
2
m
)，直线AE方程为y-2m=
2m+
2
m
m2-
1
m2
（x-m2），
即y-2m=
2m
m2-1
(x-m2)，
∴y=
2m
m2-1
x-
2m3
m2-1
+2m，
∴y=
2m
m2-1
x-
2m
m2-1
，
∴y=
2m
m2-1
(x-1)，
∴直线AE过定点（1，0）；
（ⅱ）直线AB的方程为y-y1=-
y1
2
(x-
y
2
1
4
)，即x=-
2
y1
y+
y
2
1
4
+2．
联立方程
x=-
2
y1
y+
y
2
1
4
+2
y2=4x
，消去x得y2+
8
y1
y-(
y
2
1
+8)=0，
∴y1+y2=-
8
y1
，
∴|AB|=
1+
1
k2
|y1-y2|=
1+
4
y
2
1
|2y1+
8
y1
|，
由（ⅰ）点E的坐标为E(
4
y
2
1
，-
4
y1
)，点E到直线AB的距离为：
d=
|
8
y
2
1
+
y
2
1
4
+2-
4
y
2
1
|
1+
4
y
2
1
=
|
4
y
2
1
+
y
2
1
4
+2|
1+
4
y
2
1
，
∴△ABE的面积S=
1
2
|AB|•d=
1
2
|2y1+
8
y1
|•|
4
y
2
1
+
y
2
1
4
+2|=2|
y1
2
+
2
y1
|3≥2×23≥16，
当且仅当y1=±2时等号成立，
∴△ABE的面积最小值为16．
点评：本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题．
练习册系列答案
相关题目
已知各项为正数的等差数列{an}满足a3•a7=32，a2+a8=12，且bn=2-an（n∈N*）．
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1
3
，求
1
tanA
+
1
tanC
的值；
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如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，在A处分别测得山顶上铁塔的塔顶E的仰角为θ和山脚点O（点O是点E在公路所在平面上的射影）的方位角是西偏北φ，再行驶akm到达B处，测得山脚点O的方位角是西偏北β．请设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE的步骤．
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（i）求a，b，c，d的值；
（ii）若直线l3亦与曲线y=f（x）相切，且三条不同的直线l1，l2，l3交于点G（m，4），求实数m的取值范围；
（2）若直线l1∥l2，直线l1与曲线y=f（x）切于点B且交曲线y=f（x）于点D，直线l2和与曲线y=f（x）切于点C且交曲线y=f（x）于点A，记点A，B，C，D的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，求（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）的值．
如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则
（Ⅰ）函数f（t）的解析式为
 
；
（Ⅱ）函数y=f（t）的图象在点P（t0，f（t0））处的切线的斜率为
2
3
3
，则t0=
 
．
若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥A-BDA1的体积为
 
．

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