Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，1）．
（1）若椭圆的离心率为

2

2

，求椭圆的方程；
（2）若椭圆上两动点P，Q，满足OP⊥OQ．
①已知命题：“直线PQ恒与定圆C相切”是真命题，试直接写出圆C的方程；（不需要解答过程）
②设①中的圆C交y轴的负半轴于M点，二次函数y=x²-m的图象过点M．点A，B在该图象上，当A，O，B三点共线时，求△MAB的面积S的最小值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由e=

2

2

，得出a、b、c的关系，设出椭圆方程，把（1，1）代入方程，求出b²、a²即可；
（2）①由OP⊥OQ，且直线PQ恒与定圆C相切，得出圆C的方程为x²+y²=1；
②由题意知，二次函数y=x²-1，设直线AB的方程y=kx，由

y=x2-1 y=kx

，消去y，由根与系数的关系，求出x₁+x₂，x₁x₂；计算△MAB的面积S的最小值即可．

解答： 解：（1）由e=

2

2

，
则a：b：c=

2

：1：1；
∴可设椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，将（1，1）代入得

1

2b2

+

1

b2

=1，
∴b²=

3

2

，a²=3，
∴椭圆方程为

x2

3

+

2y2

3

=1；
（2）①根据题意，用特殊值来验证，如图所示；

∵椭圆过点（1，1），
∴

1

a2

+

1

b2

=1，
即a²+b²=a²b²；
又OP⊥OQ，
∴|PQ|=

a2+b2

；
∴点O到直线PQ的距离|OM|=

ab

a2+b2

=1；
∴根据椭圆的对称性，得出圆C的方程是x²+y²=1；
②由题意，二次函数为y=x²-1，
设直线AB的方程为y=kx，
由

y=x2-1 y=kx

，消去y得，x²-kx-1=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，
则S=

1

2

OM•|x₁-x₂|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

k2+4

；
当k=0时，△MAB的面积S的最小值为1．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应根据题意，应用待定系数法求出圆锥曲线的方程，应用直线方程与圆锥曲线方程联立，求直线被圆锥曲线所截得的弦长的问题，是较难的题目．