Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B．椭圆长半轴的长为2，离心率为e=

1

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点P在直线上x=4不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

a=2 e= c a = 1 2

，由此能求出椭圆方程．
（2）A（-2，0），B（2，0），设M（x₀，y₀），则y₀²=

3

4

（4-x₀²），-2＜x₀＜2，由已知条件推导出

BM

•

BP

＞0，由此能证明点B在以MN为直径的圆内．

解答： （1）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B．
椭圆长半轴的长为2，离心率为e=

1

2

，
∴

a=2 e= c a = 1 2

，解得a=2，c=1，b=

4-1

=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）证明：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），设M（x₀，y₀），
∵M点在椭圆上，
∴y₀²=

3

4

（4-x₀²），①
又点M异于顶点A、B，
∴-2＜x₀＜2，
由P、A、M三点共线可以得 P（4，

6y0

x0+2

），
从而

BM

=（x0 -2，y₀），

BP

=（2，

6y0

x0+2

），
∴

BM

•

BP

=2x₀-4+

6y02

x0+2

=

2

x0+2

（x₀²-4+3y₀²），②
将①代入②，化简得

BM

•

BP

=

5

2

(2-x0)，
∵2-x₀＞0，
∴

BM

•

BP

＞0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点在圆内的证明，解题时要认真审题，注意椭圆、圆、直线方程、向量等知识点的合理运用．