Question

（1）设x＞-1，试比较ln（1+x）与x的大小；
（2）是否存在常数a∈N，使得a＜

1

n

n

k=1

(1+

1

k

)k＜a+1对任意大于1的自然数n都成立？若存在，试求出a的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,对数值大小的比较,归纳推理

专题：计算题,导数的综合应用,二项式定理

分析：（1）设f（x）=x-ln（x+1），求出导数，求得单调区间，得到最小值，进而比较大小；
（2）取m=1，2，3，4进行验算，得到猜测：①2＜（1+

1

m

）^m＜3，m=2，3，4，5，…，②存在a=2，使得a＜

1

n

n

k=1

(1+

1

k

)k＜a+1恒成立．运用（1）的结论可证①，运用二项式定理，即可证明②．

解答： 解：（1）设f（x）=x-ln（x+1），则f′（x）=1-

1

1+x

=

x

x+1

，
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
故函数f（x）有最小值f（0）=0，则ln（x+1）≤x恒成立；
（2）取m=1，2，3，4进行验算：
（1+

1

1

）¹=2，
（1+

1

2

）²=

9

4

=2.25，
（1+

1

3

）³=

64

27

≈2.37，
（1+

1

4

）⁴=

625

256

≈2.44，
猜测：①2＜（1+

1

m

）^m＜3，m=2，3，4，5，…，
②存在a=2，使得a＜

1

n

n

k=1

(1+

1

k

)k＜a+1恒成立．
证明：由（1）知：当0＜x≤1时，ln（x+1）＜x，
设x=

1

k

，k=1，2，3，4，…，
则ln（1+

1

k

）＜

1

k

，所以kln（1+

1

k

）＜1，ln（1+

1

k

）^k＜1，（1+

1

k

）^k＜e＜3，
当k≥2时，再由二项式定理得：
（1+

1

k

）^k=

C

0 k

+C

1 k

1

k

+C

2 k

1

k2

+…

+C

k k

1

kk

＞

C

0 k

+C

1 k

1

k

=2，
即2＜（1+

1

k

）^k＜3对任意大于1的自然数k恒成立，
从而有2n＜

n

k=1

(1+

1

k

)k＜3n成立，即a＜

1

n

n

k=1

(1+

1

k

)k＜a+1，
所以存在a=2，使得得a＜

1

n

n

k=1

(1+

1

k

)k＜a+1恒成立．

点评：本题考查构造函数，运用导数求单调区间、最值，进而比较大小，考查二项式定理的运用，考查归纳、猜想、证明的思想方法，属于中档题．