Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）²+y²=1相交，则双曲线C离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c²=a²+b²求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．

解答： 解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x-2）²+y²=1相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径，即

2b

a2+b2

＜1
∴3b²＜a²，
∴c²=a²+b²＜

4

3

a²，
∴e=

c

a

＜

2 3

3

∵e＞1
∴1＜e＜

2 3

3

．
故答案为：(1，

2 3

3

)

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．