Question

已知椭圆

x2

5

+y²=1的左、右焦点分别是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，延长F₁P到Q，使得PQ=PF₂，则当点P变化时，线段F₁Q的中点M的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可知，点Q的轨迹是以F₁（-2，0）为圆心，以|F₁Q|=2

5

为半径的圆，由此求出其方程，再利用代入法，即可得出结论．

解答： 解：∵F₁（-2，0），F₂（2，0），|PF₁|+|PF₂|=2

5

，
∵|PQ|=|F₂P|，
∴|F₁Q|=|F₁P|+|F₂P|=2

5

，
∴Q的轨迹是以F₁（-2，0）为圆心，以|F₁Q|=2

5

为半径的圆，
其方程为（x+2）²+y²=20．
设M（x，y），Q（a，b），则a=2x+2，b=2y，
∵（a+2）²+b²=20，
∴（2x+2+2）²+4y²=20，
即（x+2）²+y²=5
故答案为：（x+2）²+y²=5．

点评：本题主要考查椭圆和圆的定义的应用，考查学生分析转化问题的能力，考查代入法，属于中档题．