Question

k为

 

时，直线y-1=k（x-1）能垂直平分抛物线y²=x的一条弦AB．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线的方程为y-1=k（x-1），求出恒过的定点，直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，结合中点坐标公式，即可求这条弦所在的直线方程．

解答： 解：直线的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），求出恒过的定点（1，1），
当抛物线过点P（1，1）的弦l⊥x轴时，其方程为x=1，不能被点P平分；
当l不垂直于x轴时，直线的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），
由

y-1=k(x-1) y2=x

得：ky²-y+（1-k）=0，
∴y₁+y₂=

1

k

，y₁y₂=

1-k

k

；
由题意，

y1+y2

2

=1，即

1

k

=1⇒k=1．
k=1时，直线y-1=k（x-1）能垂直平分抛物线y²=x的一条弦AB．
故答案为：1．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．