Question

具有性质：f(

1

x

)=-f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①y=x-

1

x

；②y=x+

1

x

；
③y=

x，(0＜x＜1) 0，(x=1) - 1 x (x＞1)

中满足“倒负”变换的函数是

 

．

Answer 1

考点：进行简单的演绎推理

专题：计算题,推理和证明

分析：利用“倒负”函数定义，分别比较三个函数的f（

1

x

）与-f（x）的解析式，若符合定义，则为满足“倒负”变换的函数，若不符合，则举反例说明函数不符合定义，从而不是满足“倒负”变换的函数．

解答： 解：①设f（x）=x-

1

x

，∴f（

1

x

）=

1

x

-x=-f（x），∴y=x-

1

x

是满足“倒负”变换的函数，
②设f（x）=x+

1

x

，∵f（

1

2

）=

5

2

，-f（2）=-

5

2

，即f（

1

2

）≠-f（2），∴y=x+

1

x

是不满足“倒负”变换的函数，
③设f（x）=

x，(0＜x＜1) 0，(x=1) - 1 x (x＞1)

，则-f（x）=

-x(0＜x＜1) 0(x=1) 1 x (x＞1)

，
∵0＜x＜1时，

1

x

＞1，此时f（

1

x

）-x；
x=1时，

1

x

=1，此时f（

1

x

）=0，
x＞1时，0＜

1

x

＜1，此时f（

1

x

）=

1

x

，
∴f（

1

x

）=

-x(0＜x＜1) 0(x=1) 1 x (x＞1)

=-f（x），
∴y=

x，(0＜x＜1) 0，(x=1) - 1 x (x＞1)

是满足“倒负”变换的函数．
故答案为：①③

点评：本题考查了对新定义函数的理解，复合函数解析式的求法，分段函数解析式的求法．