Question

已知函数f（x）=

1

x+1

，点O为坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N₊），若记直线OA_n的倾斜角为θ_n，则tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：由题意可得A_n（n，

1

n+1

），直线OA_n的斜率tanθ_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，用裂项法对tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n进行求和，可得结果．

解答： 解：由题意可得，A_n（n，

1

n+1

），∴直线OA_n的斜率tanθ_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故答案为：

n

n+1

．

点评：本题主要考查直线的斜率公式的应用，用裂项法进行数列求和，属于中档题．