Question

已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足

f(x)

g(x)

=bx，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，若{a_n}是正项等比数列，且a5a7+2a6a8+a4a12=

f(4)

g(4)

，则a₆+a₈等于

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质,导数的运算

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：构造函数F（x）=

f(x)

g(x)

=bx，由已知可得b=

1

2

，再由等比数列的性质可得(a6+a8)2=

1

16

，结合题意开方可得．

解答： 解：构造函数F（x）=

f(x)

g(x)

=bx，
求导数可得F′（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

[g(x)]2

＜0，
∴函数F（x）=

f(x)

g(x)

=bx单调递减，故0＜b＜1
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=b+

1

b

=

5

2

，解得b=

1

2

，或b=2（舍去）
又∵a5a7+2a6a8+a4a12=

f(4)

g(4)

=(

1

2

)4=

1

16

，
∴a62+2a6a8+a82=(a6+a8)2=

1

16

，
又{a_n}是正项等比数列，∴a₆+a₈=

1

4

故答案为：

1

4

点评：本题考查等比数列的性质，涉及导数的运算和指数函数的单调性，属中档题．