Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₂₀₁₂-1）³+2014a₂₀₁₂=0，（a₃-1）³+2014a₃=4028，则下列结论正确的是（　　）

• A、S₂₀₁₄=2014，a₂₀₁₂＜a₃
• B、S₂₀₁₄=2014，a₂₀₁₂＞a₃
• C、S₂₀₁₄=2013，a₂₀₁₂＜a₃
• D、S₂₀₁₄=2013，a2012＞a₃

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：构造函数f（x）=（x-1）³+2014x，由函数的单调性可判a₂₀₁₂＜a₃，已知两式相加分解因式，由g（t）为增函数，且g（2）=4028，可得t=2，进而由等差数列的性质和求和公式可得．

解答： 解：构造函数f（x）=（x-1）³+2014x，
则f′（x）=3（x-1）²+2014＞0，
∴函数f（x）=（x-1）³+2014x单调递增，
∵f（a₃）=4028＞f（a₂₀₁₂）=0，
∴a₂₀₁₂＜a₃，排除B和D，
已知两式相加可得（a₂₀₁₂-1）³+2014a₂₀₁₂+（a₃-1）³+2014a₃=4028
分解因式可得（a₃+a₂₀₁₂-2）[（a₂₀₁₂-1）²-（a₂₀₁₂-1）（a₃-1）+（a₃-1）²]+2014（a₃+a₂₀₁₂）=4028，
令a₃+a₂₀₁₂=t，则有g（t）=[（a₂₀₁₂-1）²-（a₂₀₁₂-1）（a₃-1）+（a₃-1）²]（t-2）+2014t，
∵[（a₂₀₁₂-1）²-（a₂₀₁₂-1）（a₃-1）+（a₃-1）²]＞0，∴g（t）为增函数，
又∵g（2）=4028，∴必有t=2，即a₃+a₂₀₁₂=2，
∴S₂₀₁₄=

2014(a1+a2014)

2

=

2014(a3+a2012)

2

=2014
故选：A

点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及函数的单调性的应用和构造函数的技巧，属中档题．