Question

6．已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=k（x+1），
（1）若直线l与C有两个不同的公共点，求实数k的取值范围；
（2）当k=$\frac{1}{2}$时，直线l截抛物线C的弦长．

Answer 1

分析 （1）联立直线方程和抛物线方程，直接由判别式大于0得答案；
（2）联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和与积，代入弦长公式得答案．

解答 解：（1）联立抛物线C：y²=4x，直线l：y=k（x+1），
得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
由△=[（2k²-4）]²-4k⁴=16-16k²＞0且k≠0，解得：-1＜k＜1且k≠0；
（2）当k=$\frac{1}{2}$时，联立抛物线C：y²=4x，直线l：y=k（x+1），得：x²-14x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=14，x₁x₂=1，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{196-4}$=8$\sqrt{15}$

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了弦长公式的应用，是中档题．