Question

14．已知cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{3}$，θ为锐角，则sin2θ=$\frac{7}{9}$，sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{7-4\sqrt{6}}{18}$．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换，求得要求式子的值．

解答 解：∵cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{3}$，θ为锐角，∴θ＞$\frac{π}{4}$，cos（2θ+$\frac{π}{2}$）=2${cos}^{2}（θ+\frac{π}{4}）$-1=2•$\frac{1}{9}$-1=-$\frac{7}{9}$，
则sin2θ=-cos（2θ+$\frac{π}{2}$）=$\frac{7}{9}$，∴$\frac{π}{2}$＜2θ＜π，∴cos2θ=-$\sqrt{{1-sin}^{2}2θ}$=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
∴sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=sin2θcos$\frac{π}{3}$+cos2θsin$\frac{π}{3}$=$\frac{7}{9}•\frac{1}{2}$-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7-4\sqrt{6}}{18}$，
故答案为：$\frac{7}{9}$，$\frac{{7-4\sqrt{6}}}{18}$

点评 本题主要考查三角恒等变换及化简求值，属于基础题．