Question

19．已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x，x∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式与辅助角公式化简f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），再利用余弦函数的单调性可求得函数f（x）的值域；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]⇒（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，利用余弦函数的单调性质可求函数f（x）的单调减区间．

解答 解：（1）f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）-2sinxcosx
=cos2x-sin2x
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
x∈[0，$\frac{π}{2}$]⇒（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]⇒cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]⇒$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，1]．
∴函数f（x）的值域为：[-$\sqrt{2}$，1]．
（2）依题意，当2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，π]，即x∈[0，$\frac{3π}{8}$]时，函数f（x）单调递减，
故当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数f（x）的单调减区间为：[0，$\frac{3π}{8}$]．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查倍角公式与辅助角公式的应用及余弦函数的单调性质，属于中档题．