Question

11．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{6}}$）-2cos²$\frac{π}{8}$x+1
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调区间和最大值．

Answer 1

分析 （1）首先通过三角恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，利用正弦函数的周期公式可求最小正周期．
（2）利用正弦函数的值域可求函数最大值，令：-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），即可解得函数的递增区间，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈Z），即可解得函数的递减区间．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{6}}$）-2cos2$\frac{π}{8}$x+1
=sin（$\frac{π}{4}$x）cos$\frac{π}{6}}$-cos（$\frac{π}{4}$x）sin$\frac{π}{6}}$-cos$\frac{π}{4}$x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{4}$x-$\frac{3}{2}$cos$\frac{π}{4}$x
=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$），
∴最小正周期为：T=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8．
（2）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$），
∴函数的最大值为：$\sqrt{3}$，
∴令：-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），解得：8k-$\frac{2}{3}$≤x≤8k+$\frac{10}{3}$（k∈Z）
∴函数的递增区间为：x∈[8k-$\frac{2}{3}$，8k+$\frac{10}{3}$]（k∈Z）
令：$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈Z），解得：8k+$\frac{10}{3}$≤x≤8k+$\frac{22}{3}$（k∈Z）
∴函数的递减区间为：x∈[8k+$\frac{10}{3}$，8k+$\frac{22}{3}$]（k∈Z）．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，求函数的最值，最小正周期，单调区间，属于基础题型．