Question

10．已知函数y=f（x）对任意的x∈（0，π）满足f′（x）sinx＞f（x）cosx（其中f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列不等式错误的是（　　）

• A． $f（\frac{π}{6}）＜f（\frac{5}{6}π）$
• B． $\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）＞f（\frac{π}{3}）$
• C． $\sqrt{3}f（\frac{π}{2}）＞2f（\frac{π}{3}）$
• D． $2f（\frac{π}{6}）＜f（\frac{π}{2}）$

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（0，π），可得函数F（x）在x∈（0，π）上单调递增，检验即可．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（0，π），
则F′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{{sin}^{2}x}$，
∵f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，
∴F′（x）＞0，
∴F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{3}$），F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{5π}{6}$），
F（$\frac{π}{2}$）＞F（$\frac{π}{3}$），F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{2}$），
故B选项错误，
故选：B．

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，利用单调性比较大小，熟记商的导数公式，以之构造出相应函数是解答的关键，属中档题．