Question

14．某商人经过多年的经验发现本店每个月售出的某种商品件数ξ是一个随机变量，它的分布列为：P（ξ=i）=$\frac{1}{12}$（i=1，2，…，12）；设每售出一件该商品，商人获利500元．如销售不出，则每件该商品每月需花保管费100元．问商人每月初购进多少件该商品才能使月平均收益最大？

Answer 1

分析 根据题意设出变量，设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑1≤x≤12的情况．设电器商每月的收益为y，列出关于x与y之间的关系式，设出电器商每月获益的数学期望，整理出最简结果，根据二次函数的性质，求出结论．

解答 解：设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑1≤x≤12的情况．
设电器商每月的收益为y
则y是随机变量ξ的函数，且y=$\left\{\begin{array}{l}{500x，ξ≥x}\\{500ξ-100（x-ξ），ξ＜x}\end{array}\right.$
于是电器商每月获益的平均数，即为：
y=500x（P_x+P_x+1+…+P₁₂）+[500-100（x-1）]P₁+[2×500-100（x-2）]P₂+…+[（x-1）×500-100]P_x-1
=500x（12-x+1）•$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{12}$•[500•$\frac{x（x-1）}{2}$-100•$\frac{x（x-1）}{2}$]
=$\frac{25}{3}$（-3x²+53x）；
∵x∈N^*，
∴当x=$\frac{53}{2×3}$，即x=9时，
所以商人每月初购进9件该商品才能使月平均收益最大．

点评 本题考查离散型随机变量的期望，考查二次函数的性质，是一个综合题目，这种题目是概率同函数结合的问题，一般比较困难，解题时注意自变量的取值范围．