Question

设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，?y∈D，使

f(x)+f(y)

2

=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，已知四个函数：
①y=x³（x∈R）；
②y=（

1

2

）^x（x∈R）；
③y=lnx（x∈（0，+∞））；
④y=2sinx+1（x∈R），
上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：对于函数①y=x³，可直接取任意的x₁∈R，验证求出唯一的x₂=

3	2-x13

，即可得到成立．
对于函数 ②y=（

1

2

）^x（x∈R），特殊值法代入验证不成立成立，即可得到答案
对于函数③y=lnx，对于任意的x₁＞0，必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=1成立，故满足条件．
对于函数②y=2sinx+1，因为y=2sinx+1是R上的周期函数，明显不成立．

解答： 解：对于函数①y=x³，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=1=

x13+x23

2

，
x₂=

3	2-x13

，可以得到唯一的x₂∈D，故满足条件．
对于函数 ②y=（

1

2

）^x（x∈R），定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=-3，f（x₁）=8．
要使

f(x1)+f(x2)

2

=1，f（x₂）=-6，不成立，故不满足条件．
对于函数③y=lnx，定义域为（0，+∞），值域为R且单调，对于任意的x₁＞0，必存在唯一的x₂∈D，
使

f(x1)+f(x2)

2

=1成立，故满足条件．
对于函数④y=2sinx+1，明显不成立，因为y=2sinx+1是R上的周期函数，存在无穷个的x₂∈D，
使

f(x1)+f(x2)

2

=1，故不满足条件．
故答案为：①③．

点评：此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目，属于基础题．