Question

已知圆C圆心坐标为（3，1），且圆C与直线3x+4y+2=0相切．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x-y+a=0交于M，N两点，且OM⊥ON，求实数a的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）利用圆C与直线3x+4y+2=0相切，根据点到直线的距离公式求出半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）先把直线与圆的方程联立消去y，因为OM⊥ON得到x₁x₂+y₁y₂=0，然后利用根与系数的关系求出a即可．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意设所求圆C的方程为：（x-3）²+（y-1）²=r²（r＞0），
则由圆C与直线3x+4y+2=0相切得：d=

|3•3+4•1+2|

32+42

=3=r，
∴所求圆C的方程为：（x-3）²+（y-1）²=9…（5分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则联立方程得方程组：

x-y+a=0 (x-3)2+(y-1)2=9

消去y整理得方程：2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0⇒

△=56-16a-4a2＞0 x1+x2=4-a x1•x2= a2-2a+1 2

∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=0，
∴2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0，
∴2•

a2-2a+1

2

+a•(4-a)+a2=0，
∴a=-1．
经检验，a=-1满足△＞0，故a=-1为所求…（12分）

点评：本题是一道直线与圆的方程的综合题，主要考查学生对圆标准方程的认识，会利用根与系数的关系解决数学问题．