Question

在平面直角坐标系上，设不等式组

x＞0 y≥0 y≤-2n(x-3)

（n∈N^*）表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为a_n．
（1）求出a₁，a₂，a₃的值（不要求写过程）；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），求b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）画出可行域，结合图形写出a₁，a₂，a₃的值．
（2）根据题设条件，确定x，y的取值范围，结合图形分情况讨论，能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）利用数列{a_n}的通项公式，求出b_n，再利用裂项求和法能求出b₁+b₂+…+b_n．

解答： 解：（1）a₁=4+2+1=7，
a₂=8+4+1=13，
a₃=12+6+1=19．
（2）∵y≥0，
∴y=-2n（x-3）≥0，
∴0＜x≤3
又∵x是整数
∴x=1，2，3
当x=1有4n个点，当x=2有2n个点，当x=3时，有1个点，
∴a_n=4n+2n+1=6n+1．
（3）∵a_n=6n+1，
∴b_n=

1

anan+1

=

1

(6n+1)(6n+7)

=

1

6

(

1

6n+1

-

1

6n+7

)，
∴b₁+b₂+…+b_n
=

1

6

（

1

7

-

1

13

+

1

13

-

1

19

+

1

19

-

1

25

+…+

1

6n+1

-

1

6n+7

）
=

1

6

(

1

7

-

1

6n+7

)．

点评：本题考查画不等式组表示的平面区域；数列求和的方法：错位相减法、公式法、裂项相消法，是中档题．